高等数学题"有一数列x1=10,Xn+1=二次根号下6+Xn,试证明该数列存在极限,并求出极限是多少???

先判断极限存在。
x1=10,Xn+1=二次根号下6+Xn，有x2>根号下（6+3）=3
x3>根号下（6+3）=3.类推有xn>3
即有 数列是有下界的。（因为数列为正，必有下界。但是xn>3下面有用）
(xn+1)^2-(xn)^2=6+xn-(xn)^2=-(xn-3)（xn+2）<0
所以数列是单减的。
这样单调递减的有下界的数列必有极限。即得证（下确界即为极限）

由于有极限 Xn+1=二次根号下6+Xn 两边取极限即可。最后得到极限为3

思路；
由归纳法可以证明xn＞3
由此得x(n+1)＜xn
所以｛xn｝单调有界，从而极限存在，设为a
递推公式两边取极限，得a＝√(6+a)，a＝3

存在极限就是说n足够大的时候,Xn+1/Xn=1也就是:
√(6+Xn)=Xn
Xn^2-Xn-6=0.
解得,Xn=3,(xn=-2舍去..)

极限是3.

极限是 Xn=3